Nov 27, 2 settimane ago

The Butterfly Effect

Scrivo queste righe solo per tenere traccia di quello che ho fatto. Sto cercando di sviluppare un modellatore di sticking point nello squat, l’omino secco che utilizzo è composto da 3 segmenti (schiena, femore, tibia) che compongono anche un triplo pendolo. Perciò ho studiato un po’ le equazioni differenziali in gioco e poi ho provato ad estenderle ad un n-pendolo, cioè un affare composto da più segmenti, ognuno con una massa all’estremità,.

Ragazzi so che questo non frega un cazzo a nessuno, è una delle mie fisse compulsive che però alla fine sono innocue… in appendice trovate le equazioni differenziali. A che serve? AD UN CAZZO DI NULLA. Solo che mi intrigava risolvere ed implementare il tutto. 

Per dare un senso a tutto questo, voglio mostrarvi cosa sia il caos deterministico e il famoso effetto farfalla o butterlfy effect, termine coniato da Edward Lorentz che studiò il comportamento dei modelli metereologici: “una farfalla batte le ali in Brasile, e questo può scatenare un uragano in Texas”.

Ora, questa è una cazzata. Ovviamente Lorentz lo sapeva eh… però poi questa roba fluisce al grande pubblico.

Perciò… cosa è l’effetto farfalla? 

Supponete di avere 2 tripli pendoli, piazzati come qua sopra. Sono assolutamente identici a meno di un piccolissimo particolare: una massa pesa 15 kg, l’altra 15,0000001 kg. Una variazione di un decimillesimo di grammo. Prendete un peso olimpico giallo, sono 15 kg. Fate una variazione di un decimillesimo di grammo… ecco, ci siamo capiti.

Ora, di questi due affari conosciamo tutto, dato che conosciamo le equazioni che governano i pendoli e così possiamo prevederne il futuro. È ragionevole aspettarci che, a fronte di una variazione così infinitesimamente piccola, anzi così caccolosamente piccola (il caccolesimo è un infinitesimo di un infinitesimo), i due pendoli si dovrebbero comportare allo stesso modo. In altre parole, a fronte di piccole variazioni delle variabili iniziali (la massa da 15 o 15 e una caccola), si dovrebbe avere una variazione minima delle condizioni finali.

Cioè i pendoli devono viaggiare appaiati.

Ecco, guardate cosa succede nei due disegni precedenti. Dopo 1 secondo le traiettorie sono perfettamente allineate, dopo 4 secondi ecco che si iniziano a vedere delle piccole differenze. Poco male, piccole variazioni iniziali, piccole variazioni nel movimento…

Ma guardate il secondo successivo cosa succede: i due pendoli tendono a divergere come comportamento, le traiettorie dei punti terminali non sono più sovrapposte… 

Più tempo passa, più la differenza risulta evidente tanto che a 6 secondi abbiamo due movimenti che nulla hanno in comune. Il video è molto più significativo:

https://www.facebook.com/paolo.evangelista.9047506/videos/168247810438243/

Il comportamento è… caotico cioè imprevedibile, ma non imprevedibile perché non si conosce il fenomeno, imprevedibile perché è bastata una piccolissima variazione di un parametro a far si che nel tempo questa variazione si amplificasse così tanto da determinare un comportamento del tutto impensato, cioè non prevedibile in partenza, a fronte di quella caccolosa variazione.

Come dire: “eh ma che vuoi che sia…” ed invece.

Questo caos è definito deterministico perché deriva da qualcosa che è noto, determinato: del triplo pendolo sappiamo TUTTO dato che conosciamo le equazioni differenziali del sistema. Ok, è un modello, ok, nella realtà non esiste un triplo pendolo senza attriti, ok tante cose.

Però la leggenda vuole che Benoit Mandelbrot, uno dei padri dei frattali, analizzando i dati di un suo sistema che non faceva quello che doveva si accorse che c’era un errore in un parametro, sulla 6° cifra decimale. Un errore irrisorio che però comportava un risultato del tutto fuori da qualsiasi previsione.

Analogamente Lorentz con le sue previsioni del tempo: il clima è governato da un insieme di equazioni che sono note, solo che piccole variazioni nei parametri portano nel tempo a comportamenti non prevedibili.

Dato che ogni misurazione è affetta da un errore, sistemi di questo tipo dopo un po’ risultano imprevedibili. Questo è uno dei motivi per cui le previsioni del tempo dopo un certo numero di giorni non sono più affidabili.

Il battito di ali della farfalla è un errore di misura, che crea una impossibilità a prevedere il futuro, non è un battito vero. Una farfalla che batte le ali non fa un cazzo di nulla al clima globale. Perché è troppo piccola per muovere una massa d’aria significativa da alterarne i flussi, anche in un sistema caotico servirebbero secoli per vedere un effetto divergente, e di sicuro le previsioni avrebbero esaurito il loro effetto, però il concetto è questo.

(ora scriverà qualcuno che mi farà vedere come questo non è vero, lo so eh…)

Attenzione però: caotico non significa “casino totale, non si sa un cazzo”, semplicemente che non è possibile prevedere il futuro del sistema, non che ci sia l’assenza totale di informazioni. Un triplo pendolo, per esempio, è comunque confinato nello spazio della circonferenza che ha per raggio la somma delle lunghezze dei 3 segmenti, cioè non è che perché il suo comportamento è caotico ci ritroviamo i pezzi ovunque…

Analogamente per il clima: non è che non poter prevedere le temperature a 2 mesi implica che queste saranno qualsiasi, tipo 150°C all’ombra o -100° al sole. Esiste cioè una teoria del caos che permette di recuperare e gestire questi sistemi.

Dietro ogni sistema caotico ci sono leggi (equazioni, pertanto) non lineari, cioè in cui la somma di due parametri non crea un effetto che è la somma dei due effetti dati da quei parametri, è qualcosa di completamente differente. Ci ritroviamo fra i piedi questi sistemi molto spesso, perché hanno una caratteristica molto interessante: si adattano rapidamente alle nuove condizioni iniziali. 

Il cuore è un sistema biologico che mostra comportamenti caotici: la successione dei battiti, anche quando questa sembra regolare, in realtà non lo è. Sapendo l’andamento di 10s di battiti non è possibile prevedere i successivi 5s, per dire. Cioè: non è che non sappiamo cosa succederà, il battito se è costante bene o male si manterrà costante, ma le differenze fra i tempi interbattito (gli intervalli RR) saranno caotiche. Questo permette al cuore di variare rapidamente il battito stesso, di essere reattivo. Ci sono studi che mostrano che prima di un infarto il battito perde la sua variabilità. 

Ora qui ci vorrebbe una conclusione a tutto questo, qualcosa che dovrebbe mostrare al lettore quanto questa roba sia importante e determinante per la sua vita, che lui pensa che siano tutte cazzate quando invece è roba fondamentale.

Però… non è così. Questa roba non serve a niente. Non fa migliorare la panca, non fa guadagnare di più, non fa prendere like, non fa di me un uomo migliore.

Però per me è bellissima. E come tutti quelli che non ci capiscono un cazzo di queste cose, ne sono affascinato.

Appendice – Un po’ di tripli pendoli

Ecco 3 tripli pendoli tutti di dimensioni identiche, 3 link della stessa lunghezza, cambiano solo i valori delle masse, indicati dai numeri. In pratica, in A ogni massa ha lo stesso valore, 1 kg. Poi nelle altre 3 configurazioni c’è sempre una massa da 1 kg e tutte le altre da 0,1 kg, con la massa da 1 kg che ogni volta è in posizione differente.

Inizialmente i pendoli sono messi tutti nella stessa configurazione, una specie di L rovesciata. Poi c’è un sistema di sgancio che lascia liberi i segmenti di muoversi nello spazio bidimensionale. Il punto in basso è vincolato, non si può muovere ma il segmento che è inchiodato in quel punto può comunque ruotarci intorno.

Ma a che serve un simulatore se non a simulare? Ed ecco 10 secondi di simulazione.

Ovviamente così non è il massimo del chiaro, ma sul mio profilo ho messo i video delle simulazioni

https://www.facebook.com/paolo.evangelista.9047506/videos/167443083852049/

https://www.facebook.com/paolo.evangelista.9047506/videos/167443067185384/

https://www.facebook.com/paolo.evangelista.9047506/videos/167443033852054/

https://www.facebook.com/paolo.evangelista.9047506/videos/167443013852056/

Appendice – Due n-pendoli

Questo è un pendolo composto da 7 link:

https://www.facebook.com/paolo.evangelista.9047506/videos/168234010439623/

E questo è un pendolo composto da 15 link:

https://www.facebook.com/paolo.evangelista.9047506/videos/168234913772866/

Ovviamente quello che accade è che il pendolo diventa sempre più simile ad una catena… perdendo i suoi connotati di sistema rigido, perché tanti elementi rigidi snodati sono in pratica una catena flessibile e più aggiungo elementi ed osservo da lontano, più la catena diventa una corda e poi un filo continuo…

Appendice – n-pendolo

Sia dato un pendolo composto da n link senza massa, come in figura. La coordinata della generica massa i-esima vale:

 

Pi=j=1iLjcosϑjsinϑjT

F 26

Il punto 1 è l’origine. La velocità della generica massa i vale:

 

Pi=j=1iLjϑj˙sinϑjcosϑjT

F 26

Energia cinetica

L’energia cinetica della generica massa i vale:

 

Ki=12mij=1iLjϑj˙sinϑj2+j=1iLjϑj˙cosϑj2

F 26

Sviluppando la formula si ottiene:

 

Ki=12mij=1iLj2ϑj2˙+2j=1i1k=j+1iLjLkϑj˙ϑk˙cosϑjϑk

F 26

L’energia cinetica totale vale:

 

K=i=1nKi=12i=1nmij=1iLj2ϑj2˙+2j=1i1k=j+1iLjLkϑj˙ϑk˙cosϑjϑk

F 26

Si consideri il primo termine:

 

i=1nmij=1iLj2ϑj2˙=i=1nj=inmjLi2ϑi2˙

F 26

Si definisce:

 

I0i=Li2k=inmk

F 26

Da cui:

 

i=1nmij=1iLj2ϑj2˙=i=1nI0iϑi2˙

F 26

Si consideri il secondo termine:

 

2i=1nmij=1i1k=j+1iLjLkϑj˙ϑk˙cosϑjϑk=2i=1n1Liϑi˙j=i+1nLjϑj˙k=jnmkcosϑiϑj

F 26

Si definisce:

 

I0ij=LiLjk=jnmk

F 26

Da cui:

 

2i=1nmij=1i1k=j+1iLjLkϑj˙ϑk˙cosϑjϑk=2i=1n1ϑi˙j=i+1nI0ijϑj˙cosϑiϑj

F 26

L’energia cinetica perciò vale:

 

K=12i=1nI0iϑi2˙+i=1n1ϑi˙j=i+1nI0ijϑj˙cosϑiϑj

F 26

Energia potenziale

Essendo presente solo la forza gravitazionale, l’energia potenziale della generica massa i vale:

 

Ui=migj=1iLjsinϑj

F 26

L’energia potenziale totale vale:

 

U=i=1nUi=gi=1nmij=1iLjsinϑj

F 26

Si definisce:

 

u0i=gLik=inmk

F 26

Da cui:

 

U=i=1nu0isinϑi

F 26

Lagrangiana ed equazioni differenziali del sistema

Scrivendo la lagrangiana come differenza fra energia cinetica e potenziale, vale:

 

ddtLϑi˙Lϑi=0

F 51

Si ha:

 

Lϑi˙=I0iϑi˙+j=i+1nI0ijϑj˙cosϑiϑj

F 26

E:

 

ddtLϑi˙=I0iϑi¨+j=i+1nI0ijϑj¨cosϑiϑjϑi˙j=i+1nI0ijϑj˙sinϑiϑj+j=i+1nI0ijϑj2˙sinϑiϑj

F 26

Infine:

 

Lϑi=ϑi˙j=i+1nI0ijϑj˙sinϑiϑju0icosϑi

F 26

Pertanto:

 

ddtLϑi˙Lϑi=I0iϑi¨+j=i+1nI0ijϑj¨cosϑiϑjϑi˙j=i+1nI0ijϑj˙sinϑiϑj+j=i+1nI0ijϑj2˙sinϑiϑj+ϑi˙j=i+1nI0ijϑj˙sinϑiϑj+u0icosϑi=0

F 51

Cioè:

 

I0iϑi¨+j=i+1nI0ijϑj¨cosϑiϑj=j=i+1nI0ijϑj2˙sinϑiϑju0icosϑi=0  i=1n

F 51

Per semplicità di trattazione è possibile definire che il primo valore di j sia i invece che i+1. Perciò:

 

j=inI0ijϑj¨cosϑiϑj=j=i+1nI0ijϑj2˙sinϑiϑju0icosϑi=0  i=1n

I0ij=LiLjk=jnmk  ;  u0i=gLik=inmk

F 26

Si definisce:

 

I=Iij ; ω=ωij ; U=uiT

Iij=I0ijcosϑiϑj  i=1N1 , j=iN ; Iji=Iij

ωij=I0ijϑj2˙sinϑiϑj i=1N1 , j=i+1N ; ωji=ωij

ui=u0icosϑi  i=1N

F 26

Segue che le equazioni dell’n-pendolo possono essere scritte come:

 

Iϑ¨=ωϑ2˙U

F 60

 

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