Lug 11, 3 mesi ago

Follower Load, basics of

Questo è un articolo pallosissimo, diciamo “per addetti ai lavori”, cioè per quei pochi fissati che adorano questa roba, che come sempre non serve per fare 300 kg di squat. Vorrei però mostrare come in Biomeccanica si cerchi di costruire dei modelli matematici che modellino la realtà, un’arte più che una scienza.

Nel precedente articolo abbiamo visto come ci siano teorie molto promettenti per descrivere il motivo per cui la spina dorsale riesca a reggere dei carichi enormi, molto più alti di quanto si possa pensare e che hanno sempre lasciato di stucco i ricercatori: si crea lungo l’asse longitudinale delle vertebre un carico puramente compressivo, denominato follower load.

Questo è un articolo di passaggio, dove descrivo le basi per creare un follower load con un modello assolutamente banale. Mi serve anche per documentare una tecnica di calcolo che ho utilizzato, sulla falsariga di [9], devo dire che è estremamente potente e la utilizzerò in molte altre situazioni.

Si consideri il classico modello stile anni ’80, utilizzato per calcolare le forze che agiscono sul disco intervertebrale fra L5 e S1. La forza P è il peso del tronco quando il tizio è inclinato, si suppone che ci sia un solo muscolo, diciamo un ileocostale parte toracica condensato nella linea d’azione muscolare disegnata

Affinchè la forza P non trascini in rotazione la spina dorsale è necessario che la forza muscolare F compensi questa rotazione con una contro-rotazione: è necessario calcolare l’equilibrio statico rotazionale, perciò è necessario calcolare i momenti meccanici delle forze.

Se vi leggete i precedenti articoli potete imparare a calcolare i bracci di leva delle forze: con la squadra, con la scomposizione in componenti parallela e perpendicolare delle forze, con il prodotto vettoriale, con i dati o anche invocando gli Dei. Il finale è che calcolerete le distanze dal centro di rotazione (posizionato al centro del disco intervertebrale fra L5 e S1) e le rette d’azione delle forze in gioco. In figura, i bracci di leva sono mF e mP. A questo punto lo straclassico calcolo dell’equilibrio dei momenti con la straclassica legge della leva per ottenere:

F=mPmFP

Il sistema è in equilibrio, vediamo però cosa accade al disco intervertebrale.

La forza F e la forza P agiscono entrambe sul disco intervertebrale, sommandosi fra loro nella forza T. Ovviamente, come si vede dal disegno, si tratta di una somma di frecce, cioè di una somma vettoriale. Si considerino gli assi longitudinali e trasversali della vertebra L5, che facciamo corrispondere a quelli del disco intervertebrale (nella realtà non è così, ma semplifichiamo che tanto è lo stesso per quello che voglio dire)

Come si vede dal disegno, è possibile scomporre la forza T in una componente lungo l’asse longitudinale, TPar perché parallela a esso, e in una componente lungo l’asse trasversale, TPerp perché perpendicolare all’asse longitudinale (ok, rileggete perché sembra complicato ma basta prenderci la mano, di solito si considera un solo asse se l’altro è perpendicolare… specificato uno, l’altro viene di conseguenza).

La forza T perciò ha due effetti sul disco intervertebrale:

  • Lo comprime con la forza Tpar ma va benissimo: il disco nasce per essere compresso, probabilmente se potesse parlare scopriremmo che è proprio felice, dato che può far bene il suo lavoro ammortizzante.

  • Lo sposta verso sinistra e verso l’alto con la forza TPerp e qui non va per niente bene: il disco si incazza (se potesse parlare, ovviamente) quando viene stirato, perché regge anche questo spostamento di taglio rispetto all’altra direzione, ma la sua capacità di sopportazione è minore.

Perciò, quando un muscolo sostiene il peso caricato sulla colonna vertebrale, ci sarà come risultato finale una compressione e uno spostamento dei dischi intervertebrali. Che resistono alla compressione e alla forza di taglio. Proviamo adesso ad eliminarla, la cazzo di forza di taglio. 

Cioè… ma è banalissimo! Cioè cazzo ci vuole, su… a sinistra la situazione che abbiamo, con la forza T con la componente perpendicolare all’asse longitudinale di F1, a destra la furbata spaziale: aggiungo una forza F1 che, banalmente, sommandosi alle altre riporta T lungo l’asse longitudinale!

Come si nota, T diventa più lunga, ma tanto è una forza solo compressiva, e non abbiamo detto che tanto i dischi intervertebrali reggono bene le forze compressive? E allora… vai vai che abbiamo finito e possiamo rimetterci a guardare i porno!

Ecco la situazione finale: la forza F1 potrebbe essere quella dello psoas, o di alcune fibre del quadrato dei lombi o… ma tanto ci sono così tanti muscoli che cazzo ce ne sarà uno che tira così, no?

Ok, però la furbata non è gratis: è vero che così abbiamo solo una forza T compressiva, ma la forza F1 farà anche ruotare la vertebra L5, aumentando l’effetto della forza P! Pertanto la forza F sarà più intensa, e così la forza T avrà nuovamente una componente di taglio perché la forza F1 compensa la vecchia forza F, non la nuova!

Ecco la situazione con una notazione più utile. La forza P è piazzata sull’asta a distanza rP dal centro di rotazione, le forze F1 e F2 rispettivamente a distanze r1 e r2, e sono inclinate degli angoli 1 e 2 non indicati nel disegno per semplicità.

La posizione delle forze non è casuale, ma cerca di rispecchiare la muscolatura spinale:

  • La forza F1 rappresenta, come detto, l’ileocostale parte toracica: un muscolo che origina dal sacro e dalle ali iliache e si inserisce sulle costole e, come abbiamo visto in altri articoli e come vedremo meglio nel seguito, è definito come estensore globale nel senso che estende tutta la cassa toracica. L’inclinazione della forza è di 10°, che è rappresentativa per muscoli di questo tipo e ho posizionato l’inserzione muscolare a 30 cm dal centro di rotazione.

  • La forza F2 rappresenta l’ileopsoas o il multifido o lo spinale, muscoli definiti estensori/flessori locali (Oddio… l’ileopsoas è molto particolare ma va bene così per adesso), cioè muscoli che estendono o flettono le singole vertebre, originando ed inserendosi dai e verso i processi trasversi o spinosi. L’inclinazione di questi muscoli è tipicamente 5° e ho posizionato l’inserzione a 6 cm dal centro di rotazione.

Ciò che si nota è che le rette d’azione dei muscoli spinali sono molto schiacciate sull’asse spinale: considerando proprio la curvatura ad S della spina, si nota come gli estensori/flessori locali scorrano con linee d’azione quasi lungo la curvatura, mentre gli estensori globali sono più inclinati ma comunque con una inclinazione molto piccola.

Questo significa che i bracci di leva di questi muscoli siano molto molto corti, dell’ordine dei centimetri, mentre il braccio di leva della forza peso (o delle forze peso) è dell’ordine delle decine di centimetri: questo è il motivo per cui le forze muscolari in gioco sono 10 o anche 20 volte superiori alle forze esterne.

In appendice i calcoli analitici, qui il risultato finale per ottenere una forza T puramente compressiva..

F1=Psαs1rPr2r1r2

F2=Psαs2rPr1r1r2

Ok, adesso vediamo dei numeri: supponiamo di avere l’asta inclinata di 55° rispetto all’orizzontale e di tenere in cima 10 kg, posti a 50 cm dal centro di rotazione

Ecco il risultato: a sinistra una rappresentazione in scala del modello, così si possono apprezzare le vere inclinazioni e come si vede, le forze sono molto schiacciate sull’asse spinale. A destra il grafico on i valori numerici.

Si consideri la situazione con una sola forza: 137 N sono necessari per la forza F1per equilibrare i 98 N della forza peso, con una certa componente compressiva TPar pari a 169 N e una componente di taglio TPerp è pari a 19 N. Si noti come il rapporto fra taglio e compressione sia pari a circa 0,12 pertanto in questa situazione la forza di taglio è il 12% di quella compressiva.

Con 10 kg magari va bene, con 100 kg magari no, perché a sostenerla saranno tutti i legamenti e le articolazioni presenti fra L5 ed S1.

Aggiungiamo la forza F2 con le caratteristiche sopra descritte, la componente di taglio TPerp si annulla, del resto questo è quanto volevamo…

L’azzeramento della componente perpendicolare, però, non è indolore: 

  • Si noti come la forza F1 abbia una intensità superiore al caso precedente: da 137 N a 151 N, cioè un incremento del 10% che alla fine non è tanto.

  • Si noti però che la forza F2 valga 269 N, cioè quasi il doppio della forza F1! Ma come… la forza che serve a stabilizzare l’articolazione in modo da non avere forze di taglio… è più intensa della forza che tiene in piedi tutta la baracca? Ci torneremo a brevissimo

  • Si noti infine come la forza compressiva si incrementi da 169 N con una sola forza a 450 N con due forze, cioè aumenta di più di due volte e mezzo.

Ok, ma questo per quanto la prima volta possa sconvolgere… è tipico del corpo umano. Siamo di fronte ad una co-contrazione muscolare perché F1 e F2 sono di fatto antagoniste in questo contesto: ho una forza che tira da una parte e una che si oppone a questo tirare, apparentemente con un enorme spreco di energia muscolare.

Questo però non è uno spreco: la co-contrazione permette di non avere forze dannose sull’articolazione, perciò preserva l’articolazione. Si pensa sempre alla co-contrazione dei quadricipiti con i femorali, per stabilizzare il ginocchio e sembra che esista solamente questa… in realtà co-contrarre agonisti ed antagonisti è una strategia classica del corpo umano, anzi, della Vita in generale. In altre parole, meglio 2,5 volte la forza compressiva iniziale che lasciare quei pochi N di taglio a rompere i coglioni, che sono pochi ma sono dannosi.

Oppure, meno scurrile, meglio avere elevate forze compressive che basse forze di taglio!

Ma c’è un problema, appunto: la forza aggiuntiva è davvero enorme, e dovrebbe essere generata da muscoli piccolini come i fasci del multifido o dello spinale. Il punto è che il problema non esiste nella realtà, è un difetto del modello che è troppo semplice.

Ideona! Invece di un muscolo solo che fa tutto il lavoro di stabilizzazione, ne metto 3 che questo lavoro se lo ripartiscono! Ma quanto è geniale questa idea, no? Infatti nella realtà abbiamo tanti piccoli fasci che agiscono sulle singole vertebre, perciò questa è sicuramente la soluzione.

Ma ad ogni ideona segue un problemone, e qui il problema è che un sistema con troppe forze è definito iperstatico ed ha infinite combinazioni di forze che lo tengono in equilibrio. Abbiamo già affrontato questo antipatico problemino, ad esempio qui

http://smartlifting.org/2016/09/biomeccanica-per-sm-3-iperstaticita/

ma anche in moltissime altre occasioni, proprio perché l’iperstaticità è tipica dei sistemi ridondati come il corpo umano. Una tecnica tipica per affrontare questi problemi è la minimizzazione di un funzionale di costo.

Il Sistema Nervoso quando contrae i muscoli cerca sicuramente di sprecare la minima energia possibile. Questo è dimostrato: più si è bravi in un certo movimento, meno si suda, meno consumo calorico si registra, più tempo si riesce a fare quel movimento. Il corpo umano ricerca cioè l’efficienza. Ma efficienza di cosa? Quali sono gli elementi che vengono resi efficienti? Questo non è noto.

Possiamo ipotizzare che si cerchi il minimo delle forze muscolari in gioco, che cioè queste siano rese il più piccole possibili, ma come si scrive tutto questo?

F1+F2+F3

Questa è una idea: fermo restando che le forze devono sottostare all’equilibrio rotazionale e traslazionale (la struttura è statica), si ipotizza che il Sistema Nervoso vada a minimizzare la somma di tutte le forze. Però il Sistema Nervoso potrebbe minimizzare non tanto la somma delle forze, ma la somma delle forze per unità di sezione muscolare: il retto del femore ha una sezione trasversa molto più piccola di un vasto mediale, pertanto ciò che conta non è tanto il valore assoluto della forza quanto il valore di forza di un muscolo rispetto alla sua sezione trasversa. In formule:

F1PCSA1+F2PCSA2+F3PCSA3

Con PCSA si intende proprio la Phisiological Cross Section Area. Bene, c’è un problema: se vengono forze di valore negativo (i muscoli che premono invece di tirare) qui va bene tutto lo stesso. Mettiamoci un po’ di valori assoluti:

F1PCSA1+F2PCSA2+F3PCSA3

Ok, il problema è che i valori assoluti sono delle funzioni matematiche antipatiche, rompono davvero i coglioni nella trattazione, meglio i quadrati:

F12PCSA1+F22PCSA2+F32PCSA3

Ed ecco il vero problema di questi metodi di minimizzazione: è chiaro che il Sistema Nervoso minimizzi qualcosa perché vuole l’efficienza energetica, ma dato che nessuno sa cosa si minimizza, un criterio vale l’altro. La critica che viene fatta è che ciò che viene minimizzato non ha un vero significato fisiologico, del resto si dovrebbe dimostrare che il Sistema Nervoso, in questo caso, vada a minimizzare la somma dei quadrati delle forze divisa per la sezione trasversa muscolare… cioè… dai…

Ciò non toglie che queste tecniche di minimizzazione sono estremamente comode da utilizzare, proprio perché permettono di arrivare a delle soluzioni, pertanto esiste una copiosa letteratura che si preoccupa di determinare se il risultato ottenuto dai calcoli sia in linea con le rilevazioni di forze ed EMG. Se esiste un allineamento fra teoria e pratica non è che abbiamo dimostrato che il Sistema Nervoso minimizzi questa roba, ma quanto meno che questa roba sia plausibile.

Questo è uno stralcio di [9] dove si nota come si vada a minimizzare la somma dei quadrati e di altra roba. Questo studio mi ha dato uno spunto per ottenere un risultato per me estremamente interessante, che riporto in appendice come documentazione. 

Mentre altre volte scrivo che si tratta di roba semplice da Liceo, qui no, è roba da Analisi II perché ho utilizzato i moltiplicatori di Lagrange. Un aspetto interessante è che la soluzione è in forma chiusa, non c’è bisogno di utilizzare routine di calcolo per trovare la minimizzazione delle forze, e questo è possibile perché si utilizzano i quadrati delle forze, che derivati danno…. Ok, basta.

Certamente non è un modello preciso come questo qua dove si determinano anche le deformazioni della struttura a vertebre sotto l’azione delle forze, ma alla fine è meglio un risultato fatto in casa, più semplice ma che può essere studiato, che leggersi il risultato spettacolare ma di altri.

Ok, vediamo che succede ad aggiungere forze per controbilanciare la forza di taglio creata da F1, sempre inclinate di 5° come F2 e distanziate tutte di un cm, verso l’alto (in altre parole l’inserzione di F3 sarà a 7 cm e non a 6 come F2, quella di F4 a 8 cm e così via) 

Ecco un grafico che mostra 3 situazioni insieme: 

  • No Follower cioè con la sola forza F1, già analizzato

  • Follower 1 con le forze F1 ed F2, già analizzato, che sono antagoniste

  • Follower 2 con le forze F1, F2 e F3, F2 ed F3 antagonizzano F1 cioè sono dallo stesso lato

L’utilizzo di due forze stabilizzatrici fa sì che ognuna sia inferiore a quella stabilizzatrice del caso precedente, con un aumento minimo della componente compressiva totale e sempre con zero di forza di taglio (perché il modello questo prevede…)

Adesso che si è capito cosa si va a fare, di seguito il grafico riepilogativo del tutto.