Feb 1, 5 mesi ago

Statica doppia, abbondiamo!

Nel precedente pallosissimo articolo abbiamo esaminato le leggi della Statica per UN corpo. Ma… e se sono due? Complichiamoci adesso la vita, considerando la seguente situazione.

I corpi sono due, incernierati fra di se in O1 e poi al suolo, come prima, in O. Si supponga che C e C1 siano i centri di massa dei rispettivi corpi, e P e P1 siano delle forze peso Voglio calcolare i momenti che devo applicare in O e in O1 per mantenere fermi i due corpi.

Il calcolo del momento in O1 è identico a quello del caso del precedente articolo: si considera il corpo che ruota intorno ad O1 sotto l’azione della forza peso, si calcola il momento di questa, il momento da applicare in O1 è lo stesso cambiato di segno:

 

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In questo caso il momento in O1 è positivo perché genera una rotazione antioraria

Si consideri la figura sopra riportata: il momento τ1 agisce in O1 sul corpo in alto per contrastare il momento indotto dalla forza peso P1, ma questo è possibile perché questo corpo è poggiato su un altro corpo che fa da “base”: lo stesso momento τ1 agirà anche su questo corpo, solo nel verso opposto come a destra nel disegno.

Immaginate di mettere un motore in O1 e di accenderlo: il motore farebbe ruotare il corpo in altoin senso antiorario ma quello in basso in senso orario! Infatti il corpo in basso andrebbe bloccato. Questo significa che sui singoli corpi agiscono due momenti di segno opposto. Se consideriamo il sistema dei due corpi, duequesti momenti si annullano: il momento τ1 è infatti un momento interno al sistema dei corpi.

In figura un esempio che dovrebbe chiarire, sperando invece di non ottenebrare… come è possibile generare un momento τ1 in O1? Basta mettere un’asta con due bulloni come nel disegno di sinistra: l’asta fa da supporto al corpo in alto, generando una forza F che crea un momento antiorario rispetto ad O1.

Dato che l’asta è ancorata anche al corpo in basso, questo subisce una forza –F, cioè una forza che ha la stessa intensità e verso di F ma cambiata di segno: sui singoli corpi agiscono due forze diverse, sul sistema dei due corpi queste due forze si annullano essendo due forze interne al sistema.

Tutto questo per dire che quando considero il solo corpo in alto il sistema da considerare è quello qua sopra, quando considero i due corpi insieme il sistema è quello qua sotto dove il momento τ1 in O1 relativo al corpo in alto non è presente, dato che si annulla con il contromomento agente sempre in O1 ma sul corpo in basso.

Per non far ruotare i due corpi il momento τ deve annullare la somma dei momenti  generati dalle due forze peso rispetto ad O, e dato che la rotazione che induce è oraria, è da considerarsi negativo:

 

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In questo modo il corpo in alto non ruota intorno ad O1 e i due corpi considerati come solidali e rigidi non ruotano intorno ad O. Anche in questo caso il momento che impedisce la rotazione ha intensità pari alla somma delle distanze orizzontali delle forze peso rispetto al centro di rotazione.

Ora, moltiplichiamo e dividiamo l’espressione a destra della 2 per la massa totale dei due corpi:

 

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Sia:

 

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Segue che:

 

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La quanttà rCM è, per definizione di Centro di massa, proprio la distanza orizzontale del centro di massa rispetto al centro di rotazione O, cioè il momento che impedisce di far ruotare i due corpi rispetto ad O è proprio pari a quello generato dalla forza peso del centro di massa, cambiato di segno.

Nel disegno qua sopra la situazione finale dove le due forze peso sono state sostituite con la forza peso totale posta nel Centro di massa.

A che ci serve questa roba? Possiamo utilizzarla per modellare lo squat. Vi presento l’omino di ferro, un amico che mi ha accompagnato per anni, dietro le quinte della stesura di DCSS, il libro oramai introvabile perché l’editore è fallito e non ci sono più copie. Caso più unico che raro, libro che sembra essere diventato un cult senza che l’autore sia morto… ancora.

Dicevo… l’omino di ferro è dietro tutte le mie analisi dello squat e dello stacco e di molti altri esercizi. Esistono moltissimi omini di ferro, dai più complicati ai più semplici, ma dietro tutte le analisi biomeccaniche ce ne è sempre uno: è il modello su cui si basano i calcoli, cioè la rappresentazione semplificata del soggetto che si muove.

Voglio illustrare tutto questo con un esempio, facendo riferimento a questo articolo sullo squat dei vecchi, che a sua volta si basava su questo altro articolo

Nell’articolo viene descritto il motivo per cui una persona anziana per mettersi in piedi da una sedia si butti letteralmente in avanti, con un modello in cui si viene a formare una leva fra il ginocchio e la proiezione al suolo del Centro di massa, come nel disegno qua sopra: più la leva è lunga e più forza è necessario generare con i quadricipiti per ruotare la coscia, perciò il vecchio si lancia in avanti diminuendo la lunghezza della leva stessa e dovendo così generare meno forza. 

Quando si applica un modello è necessario conoscere le ipotesi su cui questo si basa, per poter confrontare quello che vogliamo descrivere con i canoni del modello stesso: inutile dire che se il nostro modello è bidimensionale e vogliamo descrivere qualcosa che è tridimensionale… il modello non va bene.

Qua sopra un omino di ferro che fa squat, vogliamo calcolare i momenti all’anca, ginocchio e caviglia per tenere quella posizione con il peso del bilanciere e del soggetto. Nei disegni le convenzioni del modello che si basa su questi presupposti per renderlo sufficientemente semplice da essere gestito:

  • Il modello è bidimensionale, lo squat e lo stacco regolare si approssimano abbastanza bene come se avvenissero solo sul piano sagittale, lo stacco sumo no.

  • L’analisi è quasi statica, cioè si suppone il movimento come se fosse composto da una serie di fotografie, tralasciando accelerazioni e rallentamenti che possono alterare del tutto il calcolo delle forze. Tipicamente le forze si amplificano nel punto di inversione.

  • Si considera solo la massa del bilanciere e del complesso tronco, testa, braccia detto HAT (Head, Arms, Trunk), le forze peso generate da queste masse sono indicate con le frecce nel disegno

  • Queste forze generano una rotazione dei segmenti corporei, tramite il loro momento meccanico rispetto all’anca, ginocchio e caviglia. Per contrastare queste rotazioni il soggetto genera delle controrotazioni tramite dei momenti meccanici sulle stesse articolazioni, indicati con τ. Non si considerano le forze dei muscoli ma i momenti che questi generano.

  • Queste masse sono allineate sul segmento che definisce il tronco

  • Le articolazioni sono delle cerniere

  • Gli angoli sono riferiti al sistema di riferimento, a differenza della convenzione biomeccanica classica in cui sono riferiti ai segmenti. In altre parole, l’angolo di flessione della schiena è fra schiena e pavimento e non fra schiena e fermore.

  • I momenti meccanici sono calcolati per entrambe le coppie articolari, supponendo che il soggetto appoggi simmetricamente i piedi al suolo e che distribuisca simmetricamente il carico su entrambi gli arti inferiori. Per avere il momento ad un’anca o ad un ginocchio o ad una caviglia è necessario dividere il relativo valore per 2

Il calcolo grafico