Leg Press – i calcoli

Questo articolo è pieno di mental pipps, dove si utilizza proprio una motosega. Lo riporto per completezza, perché io per spiegare le cose me lo sono dovuto scrivere. Non leggete, non fa ridere.

I modelli biomeccanici di sistemi vincolati, come la pressa, hanno una antipatica caratteristica: sono composti da segmenti che ruotano, ma queste rotazioni devono portare a movimenti lineari degli estremi perché ci sono delle guide di mezzo, perciò ci sono angoli che dipendono da altri angoli, e questa dipendenza è data da formule zeppe di Trigonometria.

Il primo passaggio perciò è la definizione degli elementi del modello, la figura qua sotto, il secondo è la descrizione cinematica del modello stesso, cioè la descrizione di come si muovono le parti, senza tirare in ballo le cause del movimento, che fanno parte della dinamica (la statica è un sottoinsieme della dinamica, possiamo vederla come lo studio del movimento del sistema scelto, con velocità e accelerazioni nulle).

In figura il modello utlizzato:

  • d è la distanza del punto di appoggio del piede sul carrello

  • l è la distanza dei glutei dalla guida del carrello

  • H è la posizione del carrello

Fissando l’origine del sistema di riferimento in A si definiscono le coordinate:

 

1

Deve valere:

 

2

Da cui:

 

3

Si definiscono le quantità:

 

4

Da cui:

 

5

Si ottiene:

 

6

Risolvendo l’equazione si determina il valore di H in funzione di a e b, pertanto di β. Una soluzione è negativa, pertanto è semplice la scelta. 

La condizione limite per determinare il massimo valore di H è riportata nella figura qua sopra, dove il soggetto ha le gambe estese. In questo caso deve valere:

 

7

Da cui:

 

8

Esplicitando:

 

9

Risolvendo si determina HMax. Segue che:

 

10

In figura il modello completo con il soggetto che ha il tronco appoggiato sullo schienale inclinato. Si ha:

 

11

Da cui l’angolo di flesso-estensione del ginocchio:

 

12

L’angolo di flessione del femore rispetto al tronco è invece:

 

13

(quasi) Statica

L’analisi delle forze si basa sulla solita ipotesi di quasi-staticità del movimento che viene visto come una sequenza di fotografie, perciò come se si trattasse di una sequenza di posizioni statiche. L’ipotesi è accettabile in quasi tutti i movimenti sotto carico tipici della palestra, a meno dei punti di inversione dove necessariamente le accelerazioni hanno un ruolo importante. Però l’ipotesi semplificativa regge ed è utilizzata in moltissimi studi biomeccanici.

In figura il modello con forze e momenti in gioco:

  • P è la forza peso data dalla massa del carico del carrello e dei dischi

  • R è la reazione vincolare delle guide, sempre perpendicolare alle guide stesse. Si noti come in C è come se ci fosse una rotaia, la guida appunto, che permette al carico P di scendere lungo le guide liberamente ma non di spostarsi trasversalmente rispetto alle guide stesse.

  • RA è la forza di reazione dell’anca, che permette al soggetto di non slittare. Questa dipende da quanto il soggetto si ancora bene, altrimenti la distanza l tenderà ad aumentare (l tiene proprio conto di quanto il soggetto abbia le chiappe lontane dalla guida)

  • τG è il momento meccanico indotto dai muscoli estensori del ginocchio intorno al ginocchio stesso. Serve per estendere la tibia rispetto al femore

  • τA è il momento meccanico indotto dai muscoli estensori dell’anca intorno all’anca stessa. Serve per estendere il femore rispetto al tronco.

Per semplicità non si considera il momento meccanico alla caviglia, essendo questo un modello didattico: il sistema è a 1 solo grado di libertà, nel senso che basta un solo momento meccanico a tenerlo fermo, ne ho inseriti 2 proprio per renderlo iperstatico e mostrare come si può affrontare questo tipo di problematica.

Si consideri il sistema tibia-femore dall’esterno, come in figura dove tibia e femore sono stati sostituiti con il vettore r che congiunge l’anca con la caviglia, eliminando il ginocchio che è interno al sistema, lasciando esclusivamente i punti di contatto con l’esterno del sistema, l’anca A che è a contatto con lo schienale e la caviglia C che è a contatto con il carrello.  per come è fatto il modello.

La seconda legge della Statica, quella sull’equilibrio rotazionale rispetto ad A, sulla base della figura, è dato da:

 

14

I segni negativi di τA e τP sono dovuti al fatto che creano una rotazione oraria, opposta alla convenzione che ho utilizzato per i momenti positivi (si noti il sistema di riferimento scelto).

Facendo riferimento alla figura qua sopra dove sono indicati i bracci delle forze R e P rispetto al centro di rotazione A, si ha:

 

15

Da cui, sostituendo la 15 nella 14 si ha:

 

16

Si noti come l’equazione sia indeterminata, cioè R dipende dal momento τA che è arbitrario. L’equazione non è di fatto risolta: questo è ciò che accade quando il sistema è iperstatico: non esiste una sola combinazione di forze che lo tengono in equilibrio, ma infinite. In questo caso a variare del momento all’anca si ha un valore sempre diverso di R che però mantiene in equilibrio il sistema.

A questo punto è necessario calcolare i bracci delle forze, bPA e bRA. Si ha:

 

17

Sappiamo infatti che:

  • Il vettore R è noto in direzione e verso (perpendicolare al carrello) ma non in intensità, appunto il valore scalare R da determinare

  • Il vettore P è noto: M è la massa totale del carrello e dei pesi

  • Il vettore rA, essendo l’origine in A, è dato proprio dalle coordinate del punto C, che sono note dato che il valore di H è stato precedentemente calcolato.

Il braccio di leva bPA della forza peso P è pari alla distanza orizzontale del vettore P dal centro di rotazione A, perciò è pari a rAx. Per il braccio di leva di R utilizzo il prodotto vettoriale per comodità:

 

18

I bracci delle forze sono pertanto:

 

19

Nota l’intensità della forza di reazione R è possibile calcolare la reazione all’anca, RA, applicando la prima legge della Statica sull’equilibrio traslazionale:

 

20

A questo punto è necessario calcolare quanto valga il momento interno τG che impedisce agli elementi interni al sistema, la tibia e il femore, di ruotare

Anche in questo caso è necessario calcolare i bracci delle due forze, R e P, con R stavolta nota dal calcolo precedente. I bracci sono adesso riferiti al centro di rotazione G come illustrato nella figura sottostante.

Per avere l’equilibrio rotazionale intorno al ginocchio deve valere:

 

21

Con: 

 

22

Sostituendo la 22 nella 21 si ha:

 

23

Per il calcolo dei bracci di leva valgono i seguenti passaggi:

 

24

Anche in questo caso il braccio di leva bPG della forza peso P è pari alla distanza orizzontale del vettore P dal centro di rotazione G, perciò è pari a rGx. Per il braccio di leva di R utilizzo il prodotto vettoriale per comodità:

 

25

I bracci delle forze sono pertanto:

 

26

Sostituendo la 16 nella 23 si ha:

 

27

In questo modo si ha che il momento al ginocchio dipende dal momento all’anca, dato che questo è arbitrario perché non ve ne è una reale necessità. Si noti, fin da adesso, che più il momento all’anca si incrementa e più si decrementa quello al ginocchio, pertanto il momento al ginocchio è massimo se quello all’anca è nullo.

Anche in questo caso deve poi valere, per l’equilibrio traslazionale:

 

28

Ovviamente la forza di reazione al ginocchio è la stessa che all’anca. Una rappresentazione molto utile e che verrà usata molto è la seguente.

Cioè valgono i seguenti passaggi:

 

29

I muscoli al ginocchio devono generare un momento meccanico che è proporzionale all’intensità della somma di R e P (la lunghezza della freccia), moltiplicata per il braccio di questa somma, come indicato in figura.

Il risultato è ovviamente lo stesso precedente, solo che questa rappresentazione ci servirà per collegare la pressa allo squat.

Iperstaticità

Come già detto, il Sistema Nervoso del soggetto che esegue decide, volontariamente o meno, come ripartire la forza sui vari muscoli, che sono in numero maggiore di quelli necessari per il movimento stesso: il corpo umano è pertanto ridondato.

La modellazione matematica utilizzata non permette di considerare questo aspetto, dato che vi è un solo grado di libertà e per non far ruotare femore e tibia è sufficiente un solo momento meccanico.

Di seguito un accenno ad un approccio per superare questa problematica, che permette di introdurre le tecniche utilizzate. Si vuole adesso inserire il modello di ginocchio utilizzato nei precedenti articoli che prevede la presenza dei femorali, muscoli biarticolari che originano dalle tuberosità ischiatiche e si inseriscono sulle tibie, pertanto contemporaneamente possono flettere la tibia e estendere il tronco.

Si supponga di introdurre delle carrucole:

  • Una rappresenta l’articolazione del ginocchio, è fissa sul femore e fa ruotare la tibia, ha una corda agganciata alla tibia, la corda scorre sulla scanalatura per agganciarsi al ginocchio. Si supponga di avere nel punto di aggancio sul femore un motore che tira la corda arrotolandola e facendo ruotare la tibia, con una forza FG che è pertanto la forza del quadricipite.

  • Una quella dell’anca, è fissa sul tronco e fa ruotare il femore, ha una corda agganciata al femore, la corda scorre sulla scanalatura per agganciarsi al tronco. Si supponga di avere nel punto di aggancio sul tronco un altro motore, con una forza FA che è pertanto la forza dei glutei e di tutti i muscoli monoarticolari che estendono il femore.

  • Sia all’anca che al ginocchio si aggiungono altre due carrucole, solidali con quelle presenti. La corda tesa fra le queste due carrucole origina dal tronco e si inserisce sulla tibia, ed è presente un motore che permette di accorciare la corda stessa, generando una tensione FH sia all’anca che al ginocchio, con stesse direzioni ed intensità ma versi opposti. Questa forza rappresenta la tensione prodotta dal comparto dei muscoli femorali, che sono appunto biarticolari, originando dalle tuberosità ischiatiche ed inserendosi sulla tibia, passando così due articolazioni, anca e ginocchio. 

Il raggio di ogni carrucola rappresenta il braccio della forza corrispondente: in generale le carrucole hanno raggi variabili perché, in funzione dell’angolo di flesso-estensione della tibia, varia il braccio di ogni forza muscolare. Si ha pertanto:

 

30

Si notino i segni dei momenti della forza FH, positivo all’anca perché contribuisce alla rotazione, negativo al ginocchio perché contrasta la rotazione. Per ogni braccio d il pedice indica l’articolazione, per i femorali i bracci sono due, uno per l’origine sull’anca e uno per l’inserzione sul ginocchio.

Sostituendo la 30 nella 27 si ha:

 

31

La presenza di FH aggiunge un ulteriore grado di libertà, non sapendo a priori come il Sistema Nervoso attivi i femorali. Si può però supporre che i femorali generino una forza che sia sempre pari ad una frazione di quella totale, che si ripartisce così fra i muscoli biarticolari e monoarticolari dell’anca. Questa ipotesi non è sicuramente veritiera ma è utilizzata in molti studi sul tema. 

Cioè:

 

32

In questa ipotesi ce ne è un’altra implicita che segnalo per correttezza: si suppone anche che le forze FA e FH siano nella stessa direzione e verso, solo così è vera la prima relazione della 32, da cui le successive altre due. In generale, la prima relazione è una somma vettoriale.

Seguono i seguenti passaggi:

 

33

Ovviamente l’indeterminazione rimane, dato che FG dipende dalla forza FA. Per non farsi confondere dai termini nella formula, si definiscono le seguenti quantità:

 

34

Segue che:

 

35

Questo significa che esistono infinite combinazioni di FA ed FG che soddisfano la condizione di equilibrio sopra espressa, e nessuno sa quale sia la scelta del Sistema Nervoso fra queste infinite possibilità, scelta che non è nemmeno fissa ma variabile in funzione del movimento, sia degli angoli che delle velocità angolari. Esistono ipotesi, idee, supposizioni che vengono testate sul campo ma, alla fine, molto dipende da come il movimento è rappresentato in testa.

Si suppone che il Sistema Nervoso minimizzi le forze in gioco, cercando di ottenere il movimento, diciamo l’equilibrio rotazionale in questo caso, utilizzando la minor energia metabolica possibile, tenendo immobile il carrello con il minimo impegno muscolare. L’obbiettivo è adesso minimizzare il valore totale delle forze in gioco. Come si scrive questo?

 

36

Dall’alto verso il basso: il minimo della somma delle forze, oppure il minimo della somma dei quadrati delle forze, oppure il minimo delle somme dei quadrati delle forze divise per le sezioni trasverse dei muscoli in gioco.

Vi può sembrare strano che non esista un qualcosa di definito da minimizzare ma… è così: ad ogni quantità corrisponde una diversa strategia di ottimizzazione ed esistono studi volti a capire cosa il cervello minimizza. Ed esistono ancora altre formule! Probabilmente il cervello minimizza qualcosa che varia comunque nel tempo, con l’allenamento.

Il punto è che sebbene non sappiamo cosa il cervello minimizzi, questa minimizzazione deve esistere perché è la strategia che permette di scegliere come far contrarre i muscoli, dato che contraiamo i muscoli senza indecisioni.

Ovviamente, la minimizzazione è soggetta a dei vincoli: uno è che i valori delle forze devono garantire l’equilibrio del carrello, l’altro che le forze siano sempre positive, cioè esercitino una trazione sulle ossa, non una spinta. 

Ecco un esempio. Si voglia minimizzare la seguente quantità:

 

37

Possiamo vedere la quantità f come il costo muscolare in un dato assetto, pG e pA sono dei pesi, più pG è grande rispetto a pA e più il contributo della forza del ginocchio è importante nel costo complessivo (pG e pA sono sempre positivi). I vincoli sono dati dalla 35 che è la condizione per avere l’equilibrio rotazionale, e dall’avere forze positive. Cioè il problema è il seguente:

 

38

Questo procedimento è generale e si supponga di avere decine di muscoli in gioco: esistono tecniche matematiche abbastanza complesse per risolvere questi problemi, che tipicamente si avvalgono dei dati delle EMG per considerare come i muscoli si attivano nelle varie fasi del movimento.

Nel nostro caso, avendo solo due forze, è possibile esplicitarne, infatti è possibile sostituire la 35 nella 37 ottenendo:

 

39

A questo punto è facile minimizzare la quantità f. Derivando infatti si ottiene:

 

40

La derivata si annulla in:

 

41

Poiché f è una quantità sempre positiva, il valore di FA che abbiamo determinato è relativo ad un minimo. Segue che:

 

42

Si dovrebbe verificare che le forze siano sempre positive, ma soprassediamo.

 

 

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