Biomeccanica per SM, 5 – Svantaggiose o vantaggiose?

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In questo articolo affronterò un argomento che ha creato un vero e proprio stalker che mi perseguita da diversi anni, affermando che sbaglio e che non ho capito come funzionano le leve, mi contesta che le leve umane siano svantaggiose per le forze ma vantaggiose per le velocità, come se potesse esistere una possibilità di scelta… però questa è Fisica, e non Politica e il “secondo me” va benissimo se supportato da una dimostrazione del “secondo me”. In Fisica vale sempre la legge di base della Termodinamica: le chiacchiere stanno sempre a zero.

Però prima un argomento importante: utilizzare il cervello invece di affidarsi a delle classificazioni che lasciano il tempo che trovano. Nell’articolo precedente abbiamo infatti visto che ci sono degli errori nell’esposizione classica delle leve nella Biomeccanica presentata a Scienze Motorie, errori dovuti al fatto che non si ragiona su quello che si fa, e non si ragiona perché di fatto tutte quelle nozioni non servono…

Primo, secondo, terzo genere?

Le leve umane con cui modelliamo tutto l’apparato appendicolare, gli arti, sono sempre svantaggiose: i bracci delle forze muscolari attive sono sempre (molto) più corti di quelle delle forze resistenti. Si potrebbero analizzare le articolazioni del sistema assile, cioè del tronco, della colonna vertebrale, della mandibola ma sarebbe solo una catalogazione fine a se stessa, quando l’importante è capire i concetti che ci sono dietro la modellazione biomeccanica dei sistemi biologici.

Il disegno a sinistra rappresenta un modello classico in Biomeccanica per lo studio delle forze che agiscono sulle vertebre, analizzato abbondantemente nel capitolo sulla colonna vertebrale, qui viene utilizzato per alcuni concetti generali.

La vertebra evidenziata ha la sua ben nota anatomia, brevemente:

  • Una parte frontale composta dal corpo vertebrale su cui poggia il disco intervertebrale della vertebra superiore e che a sua volta poggia sul disco intervertebrale della vertebra inferore

  • Una parte posteriore composta dall’arco neurale, i processi trasversi e il processo spinoso e le faccette articolari.

Tutto il peso del corpo sovrastante la vertebra va ad agire sulla vertebra stessa. In un modello semplificato, didattico ma anche utilizzato spesso proprio per ottenere risultati numerici, tutto questo peso viene identificato con una forza P che agisce sul centro del disco intervertebrale superiore. 

È chiaro che sia una approssimazione: la forza non solo è distribuita sul disco e non è puntuale, ma anche agisce sulla parte posteriore della vertebra, pertanto è arbitrario posizionarla dove normalmente si ritrova. Non è un limite, basta esserne coscienti: se è necessario avere un’idea delle forze, magari per un modello di squat, il modello va bene, se invece si vuole calcolare la compressione di un ipotetico disco artificiale per fare una protesi, il modello deve essere affinato pena dire delle potenziali fesserie.

La vertebra è bloccata nella posizione da tantissimi muscoli, cioè tiranti in varie direzioni, che sono rappresentati dall’unico “muscolo equivalente” F che esercita la sua azione come in figura: anche questa è una approssimazione, valida o meno a seconda dell’ambito di analisi.

Nel disegno a destra si vuole adesso calcolare la forza conoscendo la forza P: di fatto è come se ci fosse quella “leva”, con fulcro nel disco intervertebrale inferiore e con i bracci che arrivano fino alle forze. Questa leva di che genere è? Non ha genere perché non è una delle 3 classiche leve, ma non è importante mentre è fondamentale saper applicare un procedimento generale che permetta di risolvere il problema. Senza indicarli in figura per comodità, siano LF e LP le lunghezze dei segmenti a cui sono collegate rispettivamente la forza e la forza P.

Anche in questo caso viene utilizzato l’approccio quasi-statico, che è sicuramente una ottima approssimazione per il movimento delle vertebre: i movimenti delle vertebre avvengono così lentamente da essere considerati una successione di “fotografie immobili”, pertanto è possibile utilizzare le leggi della Statica. Si suppone che la forza sia nota, perciò la lunghezza della freccia è quella corretta. Della forza conosciamo di fatto solo direzione e verso, pertanto si disegnerà una freccia di una lunghezza arbitraria, utile per fare i grafici.

Per calcolare il valore della forza conoscendo la forza sono disponibili ben due procedimenti, descritte nel capitolo sulla Fisica di base ma che si preferisce riportare qui. A sinistra si calcolano i bracci di leva delle due forze:

  • Si disegnano le rette d’azione delle due forze

  • poi si disegnano le perpendicolari, passanti per il centro di rotazione, a queste direzioni

  • infine si misura la distanza fra il centro di rotazione e l’intersezione delle perpendicolari con le rispettive rette d’azione, ottenendo hF e hP.

La seconda legge della Statica per l’equilibrio rotazionale, definendo positivi i momenti che generano una rotazione antioraria, prevede che la somma dei momenti sia nulla:

Da cui:

Cioè la “solita legge della leva” e a seconda delle lunghezze dei bracci di leva questa sarà vantaggiosa o svantaggiosa (nel disegno, vantaggiosa perché hF < hP)

A destra si calcolano le componenti delle forze che inducono una pura rotazione:

  • Si scompongono le forze in una direzione perpendicolare ed una direzione parallela ai rispettivi bracci di leva, cioè le componenti delle forze che producono una pura rotazione.

  • Così facendo, i bracci di leva di queste nuove forze perpendicolari sono proprio pari alla lunghezza dei segmenti a cui le forze sono collegate

Applicando nuovamente la seconda legge della Statica per l’equilibrio rotazionale:

Da cui:

Nuovamente la “legge della leva” solo che non è la stessa di quella precedente. In realtà sono due formule che descrivono la stessa cosa, basta considerare gli angoli indicati in figura.

Nel primo caso si ha:

Da cui:

Nel secondo caso:

Da cui:

Cioè:

I risultati sono identici, ovviamente, solo che a seconda di cosa sia più comodo considerare, bracci di leva o componenti perpendicolari, si sceglie l’uno o l’altro approccio. In entrambi i casi si calcola l’intensità, la lunghezza, della forza conoscendo l’intensità, la lunghezza, della forza che si suppone sia nota in partenza.

In pratica si arriva a due “leve equivalenti” come nel disegno qua sopra, dove appunto si è considerata come nota la forza P:

  • A sinistra si ha una leva equivalente in cui i bracci sono pari alla lunghezza dei bracci di leva delle due forze rispetto al centro di rotazione, con le forze e P che agiscono sulla leva stessa. Si suppone che il braccio della forza attiva sia 3,5 volte quello della forza resistente.

  • A destra si ha una leva equivalente in cui i bracci sono pari alla lunghezza dei segmenti su cui sono collegate le forze, con le componenti perpendicolari delle forze e P. Si suppone che il braccio della forza attiva sia 1,5 volte quello della forza resistente. C’è da fare un passaggio in più che consiste nel ricavare la lunghezza di conoscendo la lunghezza della sua componente perpendicolare, operazione agevole con riga e squadra.

In entrambi i casi il risultato finale è il calcolo di e così il corretto disegno delle forze sul disegno di partenza, come riportato qua sotto.

Si lascia al lettore il calcolo della forza di reazione vincolare, che altro non è che la resistenza del disco intervertebrale inferiore alla vertebra a farsi schiacciare. Questo calcolo è importante perché quella sarà la forza che andrà a comprimere la vertebra sottostante.

Una vertebra è così assimilabile ad una leva di primo genere vantaggiosa, ma è una classificazione del tutto inutile perché è necessario ragionare per arrivare a questo risultato. Applicare il risultato finale senza capire tutto il resto può portare a catastrofici errori, l’equivalente di dire che la caviglia è una leva di secondo genere.

Svantaggiose ma anche vantaggiose?

Esistono però delle ragioni per cui è conveniente che gli arti siano delle leve svantaggiose, illustrato nel disegno qua sopra a sinistra. Si supponga che questa leva di secondo genere (ops…) sia un avambraccio che ruota intorno al gomito, il fulcro della leva stessa, e che sia la forza complessiva dei muscoli flessori mentre la forza peso di un manubrio (non si riportano le lunghezze dei bracci di leva, rispettivamente LF e LP per F e P).

L’avambraccio ruota dell’angolo α, e il punto di inserzione del muscolo arriva all’altezza lF. Supponendo il muscolo fisso, come nel disegno, lè anche la misura dell’accorciamento del muscolo. Il peso si solleva invece di LP (come nota, nel disegno l’origine del muscolo ha mantenuto la stessa altezza ma si è spostata in avanti, nella realtà questo non avviene ma per tenerne di conto è necessario complicare i calcoli per arrivare alle stesse conclusioni, pertanto si preferisce un modello del genere anche se è meno preciso)

Facendo riferimento ai triangoli rettangoli che si vengono a creare, è banale affermare che:

Da cui con dei semplici passaggi:

Si ricorda la formula per il calcolo della forza conoscendo la forza P:

Se definiamo un rapporto di svantaggio, cioè quanto la forza sia in svantaggio rispetto alla forza come:

Si ha:

Per fare un esempio, sia r = 6:

  • La forza F necessaria per bilanciare ed impedire la rotazione dell’avambraccio è pari a 6 volte P

  • L’accorciamento del muscolo che si ha quando l’avambraccio ruota è pari 1/6 volte lo spostamento del manubrio.

Se lo spostamento richiesto del manubrio verso l’alto è pari a 30 cm, l’accorciamento del muscolo è di soli 5 cm. In altre parole, più la leva è svantaggiosa e più permette di ottenere grandi escursioni angolari con piccoli accorciamenti.

Si supponga che questi spostamenti avvengano in un dato intervallo di tempo, pari a T. Poiché questo è identico per entrambi, si può scrivere la stessa formula così:

Dividendo entrambe le quantità a lato del segno di uguaglianza per si ottengono delle distanze divise per un tempo, cioè delle velocità: vè la velocità di sollevamento del peso, vè la velocità di accorciamento del muscolo.

Se il rapporto di svantaggio vale sempre 6, la formula indica che la velocità di accorciamento del muscolo è pari a 1/6 della velocità di sollevamento del peso. Cioè: la leva svantaggiosa permette di ottenere grandi velocità angolari con piccole velocità di accorciamento del muscolo.

Questo è sicuramente positivo, un “vantaggio fisiologico” se si vuole, perché i muscoli hanno delle velocità di accorciamento limitate, pertanto ottenere velocità di spostamento degli estremi terminali con velocità di accorciamento muscolari limitate è sicuramente un ottimo risultato.

Si potrebbe pertanto pensare che a parità di velocità di accorciamento muscolare allora sarebbe addirittura meglio aumentare questo svantaggio: si immagini che passi da 6 a 11: a parità di velocità di accorciamento muscolare la velocità del movimento dell’estremo terminale passa da 6 a 11 volte quella del muscolo!

Il problema è che un conto è il rapporto fra le velocità, un conto i valori assoluti delle velocità, ed è questo l’errore che commette il mio stalker, che sarebbe bocciato ad un esame di Biomeccanica. Per fare un esempio pratico: si immagini un contratto fra Gino e Pino dove Pino oggi prende quanto Gino, domani prende il doppio di Gino, e dopodomani il quadruplo di Gino. Per Pino è un affarone oppure no.

Dipende da quanto prende Gino: oggi Gino prende 10€, domani ne prende 4, dopodomani ne prende 1. Pino prende 10€, 8€, 4€ e il contratto è rispettato, solo che va a prendere sempre di meno…

È cioè vero che il rapporto delle velocità degli estremi della leva aumenta all’aumentare dello svantaggio meccanico, però proprio perché la leva diventa più svantaggiosa, le velocità assolute diminuiscono! Perciò il vantaggio meccanico sul movimento non c’è, semplicemente l’Evoluzione ha premiato leve svantaggiose per avere strutture muscolari di un certo tipo che si sono dimostrate essere più adatte a sopravvivere.

Gli arti sono fatti non per sostenere pesi abnormi, ma bene o male il peso corporeo in movimenti di precisione: la forza muscolare è in questo senso sovrabbondante, tanto che anche se vi è uno svantaggio nell’utilizzarla, è sempre un “vantaggio” avere muscoli compatti che si accorciano poco nei movimenti della vita di tutti i giorni. 

Si vuole adesso mostrare come i termini “vantaggio” e “svantaggio” siano relativi alle forze e non alle velocità, perché sono le forze che creano, tramite le accelerazioni, le velocità cioè i movimenti. La difficoltà è determinare un modello che permetta di comprendere ciò che accade mantenendo semplice i calcoli per non concentrarsi su questi.

Tipicamente anche il più banale modello di arto necessita della Trigonometria, con formule complesse che fanno perdere di immediatezza. Di solito in Fisica, e così in Biomeccanica, si usano pertanto modelli che apparentemente poco hanno a che fare con la situazione reale ma che permettono di farsi una esperienza riutilizzabile in ambiti più complicati.

Nel disegno una doppia carrucola: le due ruote hanno diametri differenti, ruotano senza attrito e le loro masse trascurabili. Su ogni ruota è avvolta una corda il cui peso è trascurabile che si srotola senza attrito, di lunghezza molto elevata. Ai capi di ogni corda sono legati due pesi fissi: il peso MF di sinistra genera una forza peso che si considera equivalente alla forza attiva F della trattazione del capitolo, mentre la massa MP genera la forza peso equivalente a P.

Si suppongano le due masse bloccate ad una certa altezza, con le corde tese: si lasci il fermo che tiene immobili le masse, queste si muoveranno. Il sistema è costruito in modo che sia sempre la massa di sinistra ad andare verso il basso e quella di destra verso l’alto. Il diametro LF è fisso ed è pari a 4 cm di lunghezza mentre quello LP è variabile da 14 cm a 36 cm in modo che r, il rapporto di svantaggio aumenti. È possibile calcolare analiticamente le velocità delle due masse, e si rimanda all’appendice per la spiegazione.

In figura il risultato che si ottiene, indicando la velocità raggiunta dalle due masse dopo un tempo convenzionale di 0,5 s. Si riporta anche il rapporto VR/VF fra le due velocità (si considerano i valori assoluti, ma in realtà VF è negativa). Come spiegato in appendice , il diametro della carrucola a cui è attaccata la massa MP costituisce il braccio della forza resistente della leva equivalente: aumentando questo braccio di leva le velocità assolute di salita e discesa delle due masse diminuiscono mentre aumenta il loro rapporto, a dimostrazione che sia un fattore di svantaggio e non di vantaggio!

Appendice – I calcoli per la carrucola

In questa appendice si riportano i calcoli analitici per determinare le accelerazioni e le velocità delle due masse della doppia carrucola. A destra nel disegno seguente la doppia carrucola è sostituita da una leva equivalente, con i bracci di leva che sono pari ai diametri delle due carrucole: la carrucola, di fatto, è una leva che non ruota mai perché le due masse si muovono verso l’alto e verso il basso esercitando sempre la stessa forza peso e non variano mai le distanze dal centro di rotazione.

Per convenzione si suppongono:

  • positive velocità, accelerazioni, spostamenti lineari e forze verso l’alto, negative verso il basso

  • positive velocità, accelerazioni, spostamenti angolari e momenti meccanici antiorari, negativi quelli orari.

Poiché le due carrucole sono solidali e ruotano alle stesse velocità ed accelerazioni angolari, supponendo ϑ, ω, α positivi (spostamento, velocità ed accelerazioni angolari delle due carrucole) valgono le relazioni:

Segue che:

Si definisce un rapporto di svantaggio come:

Segue che:

Si considerino le forze che agiscono sulle due masse, considerate ognuna isolata dal sistema, come in figura: su ogni massa agisce la forza peso generata dalla massa stessa e la forza di trazione della corda a cui la massa è collegata. La prima legge della dinamica applicata alle due masse si esprime nelle seguenti due equazioni:

Da cui:

Conoscendo il legame fra le accelerazioni si ha:

Si consideri adesso il sistema composto da carrucole e fulcro, sostituito dalla leva equivalente: su questa leva agiscono le stesse tensioni T cambiate di verso, perché le corde stavolta “tirano” verso il basso (le forze sono interne al sistema, infatti la loro somma è sempre zero se si considera il sistema come un tutt’uno). Poiché le due carrucole sono prive di massa (nella pratica molto più leggere delle due masse), la seconda legge della dinamica applicata alle due carrucole che ruotano intorno al punto comune vale:

Sostituendo i due precedenti risultati in questa equazione si ha:

Moltiplicando e raggruppando:

Da cui:

Definendo un rapporto fra le masse come:

Si ottiene:

Come riprova della bontà delle formule:

I risultati sono fisicamente corretti. Per avere la massa MF che si sposta sempre verso il basso deve valere la relazione:

Da cui:

 

 

 

 

 

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